Erdős 143: un controesempio

Il 2 ottobre 2026 ho completato un controesempio alla congettura di convergenza del problema 143 di Erdős. La risposta a quella domanda è negativa: esiste un insieme numerabile di numeri razionali in cui ogni punto rimane a distanza almeno uno da tutti i multipli interi positivi degli altri punti, eppure la somma dei pesi reciproco-logaritmici diverge.

Le due proprietà possono convivere nello stesso insieme $A\subset\mathbb Q\cap[2,\infty)$:

Il moltiplicatore $k$ è un intero e il logaritmo è naturale. La separazione vale in entrambe le direzioni, per ogni coppia distinta. La divergenza è quella delle somme finite crescenti di termini positivi.

La costruzione è accompagnata da una formalizzazione completa in Lean 4. I controlli locali registrati nella repository verificano l’intera catena fino al teorema sui numeri reali; la revisione matematica esterna della corrispondenza con la domanda di Erdős, della formulazione e dell’esposizione è ancora da completare.

Quasi tre mesi di tentativi e correzioni

La parte documentata di questa ricerca attraversa quasi tre mesi, dai primi appunti datati di luglio alla verifica conclusiva del 2 ottobre. Rileggendola oggi, non vedo una strada che conduceva inevitabilmente al risultato. Vedo tentativi diversi, strumenti che hanno funzionato entro limiti precisi e passaggi che ho dovuto correggere o abbandonare.

Ho esplorato il confronto con gli insiemi primitivi di interi, gli arrotondamenti e modi diversi di controllare il peso dei punti. Molti argomenti sembravano promettenti su un singolo blocco. La difficoltà riappariva quando cercavo di farli convivere: ogni nuovo blocco doveva rispettare tutti quelli precedenti, per ogni moltiplicatore intero, e continuare ad aggiungere abbastanza peso. Un conto locale corretto non bastava a garantire tutto questo.

Il 6 settembre ho rivisto l’impostazione. Ho conservato le prove utili, ma ho smesso di considerare obbligatorio completare una strada soltanto perché vi avevo già investito molto lavoro. Il secondo archivio è nato da questa scelta e da un corpus già ampio di risultati e tentativi. I due depositi hanno continuato a scambiarsi strumenti e controlli.

La costruzione finale ha preso forma il 2 ottobre. Anche quel giorno, un primo assemblaggio periodico incontrava un limite: aggiungere punti consumava progressivamente lo spazio disponibile per quelli futuri. Il cambiamento decisivo è stato separare due compiti. Un numero primo protegge i punti già costruiti; un altro primo, scelto più tardi, rende sufficientemente piccole le nuove perturbazioni. Organizzare molti blocchi nella stessa fase permette poi di ottenere un guadagno di peso uniforme, anche quando le scale diventano enormi.

Ho usato l’assistenza dell’intelligenza artificiale nell’esplorazione matematica, nella formalizzazione e nella scrittura. La formalizzazione in Lean è entrata anche nel ragionamento: per il passaggio analitico finale, le medie di Abel hanno permesso di dimostrare esattamente il lemma necessario, senza richiedere un’asintotica più forte sui singoli livelli. Alle 20:56 del 2 ottobre, ora italiana, la catena completa risultava verificata. Una ricompilazione separata dello stesso codice ha confermato il risultato e il controllo degli assiomi ha coperto tutte le 245 dichiarazioni dimostrate.

La storia dei tentativi precedenti spiega perché i vincoli della prova siano proprio questi. Ogni scelta deve proteggere quelle già fatte, senza esaurire la possibilità di continuare.

La costruzione, prima dei dettagli

Il passaggio analitico trova insiemi primitivi finiti di peso sufficiente dentro insiemi periodici che conservano più di due terzi delle classi residue. Il passaggio geometrico trasforma quegli interi in punti razionali appena a destra di una griglia, assegnando a ciascun blocco un primo privato. Questo primo permette di controllare simultaneamente tutte le relazioni con i punti precedenti.

All’inizio di ogni fase scelgo una nuova griglia compatibile con l’intera configurazione già costruita. La fase aggiunge molti blocchi, ciascuno piccolo in termini di peso, ma insieme capaci di un guadagno fisso. Per le configurazioni finite annidate $F_R$ ottengo

$$W(F_R)\geq\frac{R}{576}.$$

L’unione delle configurazioni conserva la separazione, perché ogni coppia di punti appartiene già a una fase finita. Il peso cresce senza limite. È questo il collegamento fra il controllo locale di ogni inserimento e il controesempio infinito.

La dimostrazione che segue è la versione italiana integrale del manoscritto del 2 ottobre. Il risultato risponde alla congettura di convergenza reciproco-logaritmica; è compatibile con il teorema di densità logaritmica di Koukoulopoulos, Lamzouri e Lichtman, che riguarda un’altra conclusione dello stesso problema.

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1. Il risultato

Scriviamo $\mathbb N=\{1,2,\ldots\}$ e indichiamo con $\log$ il logaritmo naturale. Per $x>1$ e per un insieme finito o numerabile $B\subset(1,\infty)$, poniamo

$$\mathrm w(x)=\frac1{x\log x},\qquad W(B)=\sum_{x\in B}\mathrm w(x)\in[0,\infty].$$

La somma è intesa come l’estremo superiore delle somme sui sottoinsiemi finiti.

Definizione 1.1. Un insieme $A\subset(1,\infty)$ è originale se

$$\lvert ka-b\rvert\geq1 \quad\text{per ogni }a,b\in A,\ a\ne b,\quad \text{e per ogni }k\in\mathbb N. \tag{1.1}$$

La quantificazione riguarda coppie ordinate, dunque sono richieste entrambe le direzioni. Un insieme $P\subset\mathbb N\setminus\{1\}$ è primitivo se nessun suo elemento divide un altro elemento distinto di $P$.

Nel problema II sull’ultima pagina di Erdős (1948), Erdős chiede, in particolare, se la condizione di separazione (1.1) implichi la convergenza di $W(A)$. Questa è l’affermazione sulla somma reciproco-logaritmica nel problema oggi numerato 143. L’affermazione associata sulla densità logaritmica è stata dimostrata da Koukoulopoulos, Lamzouri e Lichtman (2025), Teorema 1: ogni insieme originale soddisfa

$$\sum_{a\in A\cap[1,x]}\frac1a=o(\log x). \tag{1.2}$$

Il teorema seguente confuta l’affermazione di convergenza per $W(A)$ ed è compatibile con (1.2).

Teorema 1.2. Esiste un insieme numerabile infinito $A\subset\mathbb Q\cap[2,\infty)$, privo di punti di accumulazione finiti, per il quale vale (1.1) e

$$W(A)=\infty. \tag{1.3}$$

Ogni $a\in A$ può essere scritto come

$$a=m+\eta, \qquad m\in\mathbb N,\quad 0<\eta\leq\frac12m^{-12}. \tag{1.4}$$

Più precisamente, la costruzione produce una successione crescente di insiemi originali finiti $F_1\subset F_2\subset\cdots$, la cui unione è $A$ e per la quale

$$W(F_R)\geq\frac{R}{576}\qquad(R\in\mathbb N). \tag{1.5}$$

Le sezioni seguenti forniscono l’intera argomentazione, individuando esplicitamente gli strumenti classici utilizzati. Il teorema formale non ha alcuna ipotesi analitica o costruttiva aggiuntiva. La verifica che accompagna il manoscritto è discussa nella sezione 8; non si rivendicano una revisione indipendente da parte di esperti né una priorità.

Schema e notazione

Per $n\in\mathbb N$, sia $\Omega(n)$ il numero di fattori primi di $n$, contati con molteplicità; in particolare, $\Omega(1)=0$. Ogni sottoinsieme di

$$\mathcal L_r=\{n\in\mathbb N:\Omega(n)=r\},\qquad r\geq1,$$

è primitivo. Infatti, $n\mid n'$ con $n\ne n'$ implica $\Omega(n')=\Omega(n)+\Omega(n'/n)>\Omega(n)$.

Un insieme $E\subset\mathbb N$ è periodico di periodo $L$ se l’appartenenza dipende soltanto dal resto modulo $L$, dove $L\in\mathbb N$. La sua densità è

$$\mathrm d(E)=\frac{\#\{b\in\mathbb Z/L\mathbb Z:b\text{ è ammesso da }E\}}{L}.$$

Questa definizione non dipende dal periodo scelto. Tutti i calcoli di densità che seguono si svolgono su un periodo comune finito. In particolare, la maggiorazione della densità di un’unione di un numero finito di insiemi periodici è semplicemente la maggiorazione della cardinalità di un’unione di sottoinsiemi finiti di un anello di classi di resto.

La parte analitica fornisce un sottoinsieme primitivo finito di peso maggiore di $1/6$ in ogni insieme periodico di densità maggiore di $2/3$, al di sopra di qualsiasi soglia fissata. La parte geometrica lo usa per costruire un blocco di peso maggiore di $1/(24D)$, consumando al più $3/D$ della densità delle etichette su una griglia fissata $D\mathbb N$. Un ciclo contiene $\lfloor D/12\rfloor$ blocchi. I primi privati permettono di iniziare il ciclo successivo su una nuova griglia, preservando l’intera configurazione precedente.

2. Peso primitivo in un insieme periodico

Gli strumenti analitici classici di questa sezione sono i prodotti di Eulero assolutamente convergenti per $\zeta(s)$ e per le funzioni $L$ di Dirichlet quando $\Re s>1$, l’ortogonalità dei caratteri per un modulo fissato e la continuità di $L(s,\chi)$ in $s=1$ per $\chi$ non principale; si vedano le note di Tao (2014). Non è necessario che $L(1,\chi)$ sia diverso da zero. Usiamo una media di Abel per trovare livelli arbitrariamente alti con peso sufficiente, senza richiedere una stima inferiore per ogni singolo livello sufficientemente alto.

Teorema 2.1 (Selezione periodica). Sia $E\subset\mathbb N$ periodico, con $\mathrm d(E)>2/3$. Per ogni intero $N\geq2$, esiste un insieme primitivo finito $P\subset E\cap[N,\infty)$ tale che $W(P)>1/6$.

Per un modulo fissato $L\geq1$ e una classe di resto $b\pmod L$, definiamo

$$A_{L,b}(u)=\sum_{\substack{n\geq2\\n\equiv b\pmod L}} u^{\Omega(n)}\mathrm w(n),\qquad 0\leq u<1. \tag{2.1}$$

Dimostreremo la convergenza di questa serie e la stima sufficiente

$$\liminf_{u\uparrow1}(1-u)A_{L,b}(u)\geq\frac1{4L}. \tag{2.2}$$

Qui e nel seguito, dire che un limite inferiore è almeno $c$ significa che, per ogni numero reale $h<c$, l’espressione è almeno $h$ per tutti gli $u<1$ sufficientemente vicini a $1$. Il modulo e la classe di resto sono fissati prima di passare al limite. L’esatto enunciato di selezione finita del Teorema 2.1 è parte della formalizzazione completa in Lean, attraverso questo percorso; l’ambito e la riproduzione della verifica sono documentati nella sezione 8.

Stime uniformi dei fattori di Eulero

Per un carattere di Dirichlet $\chi$ modulo $L$, per $0\leq u\leq1$ e per $t>0$, poniamo

$$G_\chi(u,t)=\prod_p(1-u\chi(p)p^{-1-t})^{-1} =\sum_{n\geq1}\frac{u^{\Omega(n)}\chi(n)}{n^{1+t}}. \tag{2.3}$$

I prodotti indicizzati da $p$ sono estesi ai numeri primi. La convergenza assoluta segue da $|\chi(n)|\leq1$ e $u^{\Omega(n)}\leq1$, oppure direttamente dai prodotti di Eulero finiti e dalla sommabilità di $\sum_p p^{-1-t}$. Il termine $n=1$ è $1$, anche quando $u=0$.

Lemma 2.2. Per $0\leq u\leq1$ e $t>0$,

$$|G_\chi(u,t)|^2\leq2|L(1+t,\chi)|^{2u}. \tag{2.4}$$

Per il carattere principale $\chi_0$ modulo $L$, il prodotto è reale e positivo e soddisfa

$$G_{\chi_0}(u,t)\geq\bigl(L(1+t,\chi_0)/2\bigr)^u. \tag{2.5}$$

Dimostrazione. Per $z\in\mathbb C$ con $|z|\leq1/2$, poniamo $A=|1-z|^2$ e $S=(1-u)+uA$. L’identità

$$|1-uz|^2=S-u(1-u)|z|^2$$

e le stime $S\geq1/4$ e $u(1-u)\leq1/4$ danno

$$|1-uz|^2\geq S(1-|z|^2)\geq A^u(1-|z|^2),$$

dove l’ultimo passaggio è la disuguaglianza fra media aritmetica e media geometrica pesate. Invertendo,

$$|(1-uz)^{-1}|^2 \leq |(1-z)^{-1}|^{2u}(1-|z|^2)^{-1}. \tag{2.6}$$

Le correzioni quadratiche hanno una maggiorazione uniforme. Per ogni insieme finito $T$ di numeri primi e per $M\geq\max(T\cup\{2\})$,

$$\prod_{p\in T}(1-p^{-2})^{-1} \leq\prod_{n=2}^M(1-n^{-2})^{-1} =\frac{2M}{M+1}<2. \tag{2.7}$$

Applichiamo (2.6) con $z=\chi(p)p^{-1-t}$ e passiamo ai prodotti di Eulero convergenti per ottenere (2.4).

Per $0\leq x<1$, la concavità e una riorganizzazione elementare danno

$$(1+x)^u\leq1+ux\leq(1-ux)^{-1}.$$

Per il carattere principale usiamo $x=p^{-1-t}$ quando $p\nmid L$ e $x=0$ altrimenti. Poiché $1+x=(1-x)^{-1}(1-x^2)$, la stima (2.7) implica

$$G_{\chi_0}(u,t)\geq \left(\prod_{p\nmid L}(1+p^{-1-t})\right)^u \geq\bigl(L(1+t,\chi_0)/2\bigr)^u.$$

Lo stesso argomento si applica prima ai prodotti finiti; la convergenza giustifica quindi il passaggio indicato ai prodotti infiniti. $\square$

Scriviamo $G_1$ per il prodotto senza restrizioni, corrispondente al modulo uno, e poniamo

$$\kappa_L=\prod_{p\mid L}(1-p^{-1})=\frac{\varphi(L)}L, \qquad \varphi(1)=1.$$

Lemma 2.3. Per un carattere non principale fissato $\chi$,

$$|G_\chi(u,t)|\leq C_{L,\chi} \qquad(0\leq u\leq1,\ 0<t\leq1). \tag{2.8}$$

Esiste $\varepsilon\in(0,1]$, dipendente da $L$, tale che

$$G_{\chi_0}(u,t)\geq\left(\frac{\kappa_L}{4t}\right)^u \qquad(0\leq u\leq1,\ 0<t\leq\varepsilon). \tag{2.9}$$

Il prodotto senza restrizioni soddisfa

$$G_1(u,t)\leq4t^{-u} \qquad(0\leq u\leq1,\ 0<t\leq1). \tag{2.10}$$

Uniformemente rispetto a tutti i caratteri e a $0\leq u\leq1$,

$$|G_\chi(u,t)-1|\leq C2^{-t}\qquad(t\geq1), \tag{2.11}$$

con una costante assoluta $C$.

Dimostrazione. Per $\chi$ non principale, la continuità sul segmento reale compatto $[1,2]$ limita $|L(s,\chi)|$. La disuguaglianza (2.4) dimostra quindi (2.8), poiché $x^{2u}\leq\max(1,x^2)$ per $x>0$. Il prodotto di Eulero principale e le stime elementari

$$\frac1t\leq\zeta(1+t)\leq1+\frac1t$$

danno $tL(1+t,\chi_0)\to\kappa_L$ quando $t\downarrow0$. In particolare, $L(1+t,\chi_0)\geq\kappa_L/(2t)$ per $t$ piccolo. La disuguaglianza (2.5) dimostra (2.9). Per il modulo uno, (2.4) dà, quando $0<t\leq1$,

$$G_1(u,t)\leq\sqrt2\,\zeta(1+t)^u \leq\sqrt2(2/t)^u\leq4t^{-u}.$$

Infine, dalla serie assolutamente convergente in (2.3),

$$|G_\chi(u,t)-1|\leq\sum_{n\geq2}n^{-1-t} \leq2^{-(t-1)}\sum_{n\geq2}n^{-2}\qquad(t\geq1).$$

Questo dimostra (2.11). $\square$

Integrazione e medie sui caratteri

Lemma 2.4. Per $0\leq u<1$, la serie $\sum_{n\geq2}u^{\Omega(n)}\mathrm w(n)$ converge. Per ogni carattere $\chi$,

$$J_\chi(u):=\int_0^\infty(G_\chi(u,t)-1)\,dt =\sum_{n\geq2}\chi(n)u^{\Omega(n)}\mathrm w(n), \tag{2.12}$$

con integrale e serie assolutamente convergenti. Inoltre,

$$C_2:=\sum_{n\geq2}\frac1{n(\log n)^2}<\infty. \tag{2.13}$$

Dimostrazione. L’integrando non negativo senza restrizioni $G_1(u,t)-1$ è integrabile: vicino a zero usiamo (2.10) e $u<1$, e vicino a infinito usiamo (2.11). Il teorema di Tonelli e l’identità elementare

$$\int_0^\infty n^{-1-t}\,dt=\frac1{n\log n}\qquad(n\geq2)$$

dimostrano quindi la convergenza della serie pesata senza restrizioni e (2.12) per il carattere banale. Per un carattere generale, la somma degli integrali dei valori assoluti è maggiorata dalla stessa serie convergente. L’integrazione termine a termine è pertanto giustificata e dimostra (2.12).

Per l’ultima affermazione, $G_1(1,t)=\zeta(1+t)$. Dunque $t(\zeta(1+t)-1)$ è limitato vicino a zero dalle stime elementari della zeta e decade a infinito per (2.11). Un’ulteriore applicazione di Tonelli, usando questa volta

$$\int_0^\infty t n^{-1-t}\,dt=\frac1{n(\log n)^2},$$

dimostra (2.13). $\square$

Lemma 2.5. Per ogni $\chi$ non principale,

$$(1-u)J_\chi(u)\longrightarrow0\qquad(u\uparrow1). \tag{2.14}$$

Per il carattere principale,

$$\liminf_{u\uparrow1}(1-u)J_{\chi_0}(u)\geq\frac{\kappa_L}{4}. \tag{2.15}$$

Dimostrazione. Per $\chi$ non principale, le stime (2.8) e (2.11) forniscono una maggiorante integrabile, indipendente da $0\leq u<1$, per $|G_\chi(u,t)-1|$. Dunque $J_\chi(u)$ resta limitato, il che dimostra (2.14). Per $\chi_0$, ogni termine di $G_{\chi_0}(u,t)-1$ è non negativo. Integrando la stima inferiore (2.9) su $(0,\varepsilon)$ si ottiene

$$J_{\chi_0}(u)\geq \frac{(\kappa_L/4)^u\varepsilon^{1-u}}{1-u}-\varepsilon.$$

Dopo la moltiplicazione per $1-u$, il membro destro tende a $\kappa_L/4$. $\square$

Ogni classe di resto

Proposizione 2.6. La stima (2.2) vale per ogni $L\geq1$ fissato e per ogni classe di resto $b\pmod L$, comprese le classi non invertibili.

Dimostrazione. Per una classe invertibile, l’ortogonalità dei caratteri e la convergenza assoluta del Lemma 2.4 danno

$$A_{L,b}(u)=\frac1{\varphi(L)} \sum_{\chi\bmod L}\overline{\chi(b)}J_\chi(u). \tag{2.16}$$

Il termine principale ha limite inferiore normalizzato almeno $\kappa_L/(4\varphi(L))=1/(4L)$. I termini non principali, dopo la moltiplicazione per $1-u$, tendono a zero per il Lemma 2.5. Prendendo le parti reali in (2.16) si dimostra l’affermazione. Per $L=1$, lo stesso argomento contiene soltanto il termine principale.

Per una classe di resto generale usiamo il suo rappresentante $b\in\{0,\ldots,L-1\}$ e poniamo $g=\gcd(b,L)$, $M=L/g$ e $c=b/g$, con $\gcd(0,L)=L$. La classe $c\pmod M$ è invertibile, anche quando $M=1$, con la sua unica classe. La moltiplicazione $m\mapsto gm$ manda iniettivamente gli interi $m\geq2$ di quella classe negli interi $n\geq2$ della classe originale, e $\Omega(gm)=\Omega(g)+\Omega(m)$. Per $m\geq2$,

$$0\leq\frac1{m\log m}-\frac1{m(\log m+\log g)} \leq\frac{\log g}{m(\log m)^2}. \tag{2.17}$$

Usando $0\leq u^{\Omega(m)}\leq1$ e il Lemma 2.4, otteniamo

$$A_{L,b}(u)\geq\frac{u^{\Omega(g)}}g A_{M,c}(u) -\frac{\log g}{g}C_2. \tag{2.18}$$

Ogni eventuale termine omesso con $m=1$ è non negativo e non influisce quindi sulla stima inferiore. La moltiplicazione per $1-u$ fa svanire il termine di errore. Il primo coefficiente tende a $1/g>0$ e il caso coprimo fornisce la stima inferiore $1/(4M)>0$. La definizione di limite inferiore dà ora $1/(4gM)=1/(4L)$. Non è richiesta alcuna coprimalità fra $g$ e $m$. $\square$

Livelli pesanti ed estrazione finita

Dimostrazione del Teorema 2.1. Fissiamo un periodo $L$ e il suo insieme $S$ di classi di resto ammesse. Sommiamo la Proposizione 2.6 su questo insieme finito per ottenere

$$\liminf_{u\uparrow1}(1-u) \sum_{\substack{n\geq2\\n\in E}}u^{\Omega(n)}\mathrm w(n) \geq\frac{|S|}{4L}=\frac{\mathrm d(E)}4>\frac16. \tag{2.19}$$

Per $r\geq0$, poniamo

$$f_r=\sum_{\substack{n\geq2\\n\in E\\\Omega(n)=r}}\mathrm w(n).$$

Ogni $f_r$ è finito: la serie pesata convergente in $u=1/2$ lo maggiora dopo la moltiplicazione per $2^r$. Raggruppando la serie sommabile a termini non negativi si ottiene, per $0\leq u<1$,

$$\sum_{\substack{n\geq2\\n\in E}}u^{\Omega(n)}\mathrm w(n) =\sum_{r\geq0}u^r f_r. \tag{2.20}$$

Se fosse $f_r\leq1/6$ per ogni $r\geq R$, avremmo

$$(1-u)\sum_{r\geq0}u^r f_r \leq\frac16+(1-u)\sum_{r<R}f_r.$$

Il suo limite superiore sarebbe al più $1/6$, in contraddizione con (2.19). Esistono dunque $r$ arbitrariamente alti con $f_r>1/6$. Scegliamo uno di questi $r\geq N\geq2$. Ogni intero su quel livello è almeno $2^r\geq r\geq N$, e il livello è primitivo. Poiché il suo peso è una serie positiva convergente che supera $1/6$, un troncamento finito supera ancora $1/6$. Questo troncamento è l’insieme $P$ richiesto. $\square$

3. Configurazioni finite e primi privati

Indicizziamo i blocchi con $i=1,2,\ldots$ nell’ordine in cui vengono inseriti. Un blocco ha i dati

$$\begin{gathered} D_i\in\mathbb N,\quad D_i\geq48,\quad P_i\subset\mathbb N\setminus\{1\}\text{ finito, non vuoto, primitivo},\\ H_i,G_i\text{ primi},\qquad p_i=H_iG_i,\quad q_i=p_i-1,\quad c_i=\frac{p_i}{q_i},\\ A_i=\{a_{i,n}:n\in P_i\},\qquad a_{i,n}=c_iD_i n=\frac{H_iN_{i,n}}{q_i},\quad N_{i,n}=G_iD_i n. \end{gathered} \tag{3.1}$$

Il primo $H_i$ è detto primo privato del blocco. Questa terminologia si riferisce all’invariante di non divisibilità qui sotto; non afferma che $H_i$ compaia in un denominatore ridotto.

Definizione 3.1. Un elenco finito di blocchi è una configurazione ammissibile se, scrivendo $F=\bigcup_{i=1}^t A_i$, valgono le condizioni seguenti.

• (I1) $F$ è originale, e ogni punto di $A_i$ supera ogni punto di $\bigcup_{j<i}A_j$ di più di $1$.
• (I2) I primi $H_i$ sono distinti e maggiori di $2$, e vale

$$H_j\nmid N_{i,n}\qquad (1\leq i,j\leq t,\ n\in P_i). \tag{3.2}$$

• (I3) Ogni punto $a_{i,n}$ soddisfa $a_{i,n}/H_i>4$ e (1.4) con $m=D_i n$.
• (I4) I primi privati soddisfano il vincolo finito stretto

$$\sum_{i=1}^t\frac1{H_i}<\frac1{100}. \tag{3.3}$$

L’elenco vuoto è ammissibile, con $F=\varnothing$. Scriviamo $M(F)=\max F$ quando $F\ne\varnothing$ e $M(\varnothing)=0$.

Tutti gli invarianti riguardano soltanto dati già selezionati. Un nuovo primo privato viene scelto abbastanza grande da preservare il margine positivo residuo; non è necessario prescrivere un tasso di crescita dei primi.

La Figura 1 distingue i ruoli dei due primi di un blocco. L’ordine delle scelte è parte della costruzione: selezionare l’insieme di etichette non significa ancora selezionare l’ampiezza della perturbazione.

1. $F,D$ Passato e griglia
2. $H_i$ Primo privato
3. $E$ Periodo fissato
4. $P_i$ Etichette primitive
5. $G_i$ Primo grande
6. $A_i$ Nuovo blocco

Compatibilità con il passato

$H_i>D,H_i>N_{j,n}(j<i)$

$H_i\nmid n(n\in P_i)$

Le esclusioni dei primi precedono la scelta delle etichette.

Dimensione dello spostamento

$q_i=H_i{G}_i-1,{\eta }_m=m/q_i$

$q_i\ge 2U^{13},U=D\max P_i$

Il secondo primo cresce dopo aver fissato griglia ed etichette.

Figura 1 — I due primi e l’ordine delle scelte. Lo schema di dipendenza è

$$\underbrace{F,D}_{\text{configurazione precedente e griglia}} \longrightarrow \underbrace{H_i}_{\text{primo privato}} \longrightarrow \underbrace{E}_{\text{periodo fissato}} \longrightarrow \underbrace{P_i}_{\text{insieme primitivo}} \longrightarrow \underbrace{G_i}_{\text{primo grande}} \longrightarrow \underbrace{A_i}_{\text{nuovo blocco}}.$$

Il ruolo di $H_i$ è la compatibilità con la configurazione precedente:

$$H_i>D,\quad H_i>N_{j,n}\ (j<i), \qquad H_i\nmid n\quad(n\in P_i).$$

Le esclusioni dei primi precedono la scelta di $P_i$. Il ruolo di $G_i$ è l’ampiezza dello spostamento positivo:

$$q_i=H_iG_i-1,\quad\eta_m=m/q_i, \qquad q_i\geq2U^{13},\quad U=D\max P_i.$$

Si aumenta $G_i$ dopo avere fissato $D,H_i,P_i$. Le frecce indicano dipendenze, non grandezze quantitative. Il primo privato $H_i$ impone l’invariante di non divisibilità; la successiva scelta di $G_i$ rende lo spostamento abbastanza piccolo per tutte le vecchie sorgenti razionali e per la stima di vicinanza agli interi. Nessuna etichetta viene rimossa dopo avere selezionato $P_i$.

4. Una griglia compatibile con la configurazione precedente

Lemma 4.1. Data una configurazione ammissibile con insieme di punti $F_0$, esiste un intero $D\geq48$ tale che

$$\begin{gathered} N_{i,n}\mid D\quad\text{per tutti i punti precedenti},\\ (D,H_i)=1\quad\text{per tutti i primi privati precedenti}. \end{gathered} \tag{4.1}$$

Per questo $D$, se $a=a_{i,n}\in F_0$, $\ell\in\mathbb N$ e $H_i\nmid\ell$, allora

$$|ka-D\ell|>4\qquad\text{per ogni }k\in\mathbb Z. \tag{4.2}$$

Se invece $H_i\mid\ell$, allora $D\ell$ è un multiplo intero positivo di $a$.

Dimostrazione. Per $F_0=\varnothing$, prendiamo $D=48$. Altrimenti sia $Q$ il prodotto degli interi positivi distinti $N_{i,n}$ conservati in $F_0$. Per (3.2), $Q$ è coprimo con ogni primo privato precedente. Tutti questi primi sono dispari. Dunque $D=2^vQ$, con $v\geq0$ sufficientemente grande, soddisfa (4.1).

Fissiamo un punto precedente $a=H_iN_{i,n}/q_i$ e poniamo $t_a=D/N_{i,n}$. Questo è un intero positivo. Poiché $H_i\nmid D$ e $q_i\equiv-1\pmod {H_i}$, abbiamo $(t_aq_i,H_i)=1$. L’identità esatta

$$|ka-D\ell|=\frac a{H_i}|kH_i-t_aq_i\ell| \tag{4.3}$$

vale per ogni $k\in\mathbb Z$. Se $H_i\nmid\ell$, il suo fattore intero è diverso da zero, dunque (4.2) segue da (I3). Se $H_i\mid\ell$, allora $D\ell/a=t_aq_i\ell/H_i$ è un intero positivo. La dimostrazione usa la rappresentazione esibita di $a$ e non richiede che essa sia ridotta. $\square$

Per un insieme razionale finito $F\subset(0,\infty)$ e un intero $D\geq1$, definiamo l’insieme delle etichette ammissibili

$$\mathcal R(F,D)=\{\ell\in\mathbb N:ka-D\ell\notin(-1,1] \text{ per ogni }a\in F\text{ e ogni }k\in\mathbb Z\}. \tag{4.4}$$

L’intervallo semiaperto è scelto in vista della successiva perturbazione positiva.

Lemma 4.2. L’insieme $\mathcal R(F,D)$ è periodico. Per $F=F_0$ e per $D$ come nel Lemma 4.1,

$$\mathcal R(F_0,D)=\{\ell\in\mathbb N:H_i\nmid\ell \text{ per ogni precedente }H_i\}, \tag{4.5}$$

e in particolare

$$\mathrm d(\mathcal R(F_0,D))>\frac{99}{100}. \tag{4.6}$$

Dimostrazione. Scriviamo ogni $a\in F$ come $A_a/B_a$, con numeratore e denominatore interi positivi. Sostituendo $\ell$ con $\ell+A_a$ e $k$ con $k+DB_a$, il valore di $ka-D\ell$ resta invariato. Dunque la condizione per questo punto è periodica di periodo $A_a$, e il prodotto di questi numeratori, in numero finito, è un periodo comune. Per $F=\varnothing$, ogni etichetta è ammessa e si può prendere periodo $1$.

L’identità (4.5) segue dalle due alternative del Lemma 4.1. Per il teorema cinese dei resti la sua densità è $\prod_i(1-H_i^{-1})$, con valore $1$ per un prodotto vuoto. La disuguaglianza $\prod_i(1-x_i)\geq1-\sum_i x_i$ per $0\leq x_i\leq1$, insieme a (3.3), dimostra (4.6). $\square$

Il cambio di griglia nel Lemma 4.1 modifica soltanto la griglia usata per i blocchi futuri. La Figura 2 mostra perché una vecchia sorgente esclude soltanto una classe di etichette su questa griglia, pur dovendo evitare tutti i suoi multipli interi.

$a=HN/q,D=tN,\gcd (tq,H)=1$

$|ka-D\ell |=\frac{a}{H}|kH-tq\ell |$

$0$$1$$2$$\cdots$$H-2$$H-1$

Una classe esclusa Le altre classi: distanza maggiore di 4

$\mathrm{d}(\mathcal{R}(F_0,D))={\prod }_{j\mathrm{vecchi}}(1-H_j^{-1})>\frac{99}{100}$

Figura 2 — Classificazione esatta dei resti dopo un cambio di griglia. Il vecchio punto $a=HN/q$ rimane invariato; si sceglie $D=tN$ con $(tq,H)=1$. Vale

$$|ka-D\ell|=\frac aH|kH-tq\ell|.$$

La classificazione delle classi di $\mathbb Z/H\mathbb Z$ è:

Classe di $\ell\bmod H$	Conseguenza
$0$	Unica classe vietata: $D\ell=ka$ per qualche $k\in\mathbb N$.
$1,2,\ldots,H-2,H-1$	$H-1$ classi ammissibili: $\lvert ka-D\ell\rvert\geq a/H>4$ per ogni $k\in\mathbb Z$.

Per tutte le vecchie sorgenti insieme,

$$\mathrm d(\mathcal R(F_0,D)) =\prod_{j\ \mathrm{precedenti}}(1-H_j^{-1}) \geq1-\sum_{j\ \mathrm{precedenti}}H_j^{-1}>\frac{99}{100}.$$

La sequenza di classi è una rappresentazione simbolica di $\mathbb Z/H\mathbb Z$; i puntini omettono le classi intermedie. Nel diagramma, le larghezze disegnate non rappresentano densità né distanze. Per un vecchio punto fissato, soltanto $\ell\equiv0\pmod H$ causa una collisione esatta. Le altre classi hanno un distacco maggiore di $4$. I primi privati precedenti, distinti fra loro, danno la formula di prodotto. Tutti i vecchi punti e i loro pesi rimangono invariati.

5. Il costo di densità di un blocco

Per interi $D\geq1$ e $p\geq2D$, poniamo $q=p-1$, $c=p/q$ e $r=\lfloor q/D\rfloor$. Definiamo un insieme finito di classi di resto vietate mediante

$$\mathcal B(p,D)=\{z\bmod p:z\in\mathbb Z,\ -r\leq z\leq r\}. \tag{5.1}$$

L’intervallo è chiuso. Questa esclusione leggermente più forte fornisce l’ammissibilità semiaperta richiesta in (4.4).

Lemma 5.1 (Stima dei resti della radice). Se $\ell\bmod p\notin\mathcal B(p,D)$, allora $|cDh-D\ell|>1$ per ogni $h\in\mathbb Z$. Inoltre,

$$\frac{|\mathcal B(p,D)|}{p}\leq\frac3D. \tag{5.2}$$

Di conseguenza, la stessa esclusione separa $D\ell$ da ogni multiplo intero di ogni punto di qualsiasi blocco $\{cDn:n\in P\}$.

Dimostrazione. Se $|cDh-D\ell|\leq1$, allora $D|ph-q\ell|\leq q$. L’intero $z=ph-q\ell$ appartiene dunque a $[-r,r]$. Poiché $q=p-1$, abbiamo $z\equiv\ell\pmod p$, il che dimostra la prima affermazione per contrapposizione. La riduzione modulo $p$ non può aumentare la cardinalità, dunque $|\mathcal B(p,D)|\leq2r+1$. Pertanto

$$\frac{|\mathcal B(p,D)|}{p} \leq\frac{2q}{pD}+\frac1p \leq\frac2D+\frac1D=\frac3D.$$

L’ultima stima vale già per $p\geq D$. Per un punto $cDn$, il suo multiplo $k$-esimo è $cD(kn)$, quindi la prima affermazione si applica con $h=kn$. Non si assume alcuna coprimalità fra $D$ e $p$. $\square$

Osservazione 5.2. Il numero $cD$ è soltanto uno strumento di conteggio. Non viene aggiunto all’insieme originale. I suoi multipli contengono tutti i multipli dell’intero blocco, ed è per questo che la stima non dipende dal numero di etichette in $P$.

Fissiamo una griglia $D$ per la configurazione $F_0$ all’inizio di un ciclo, e poniamo

$$J=\left\lfloor\frac D{12}\right\rfloor. \tag{5.3}$$

Dopo $s\leq J$ inserimenti, sia $\mathcal P$ l’insieme dei numeratori delle radici $p$ usati in questo ciclo, così che $|\mathcal P|\leq s$ e $p\geq2D$ per $p\in\mathcal P$. Sia $\mathcal H$ un insieme contenente tutti i primi privati attuali ed eventualmente un nuovo primo appena scelto, soggetto a $\sum_{H\in\mathcal H}H^{-1}<1/100$. Poniamo

$$E(\mathcal H,\mathcal P,D)= \left\{\ell\in\mathbb N: \begin{array}{l} H\nmid\ell\quad(H\in\mathcal H),\\ \ell\bmod p\notin\mathcal B(p,D)\quad(p\in\mathcal P) \end{array}\right\}. \tag{5.4}$$

Questo filtro è contenuto in $\mathcal R(F,D)$ per l’intero insieme attuale di punti $F$: i punti dei cicli precedenti sono protetti dal Lemma 4.1, e quelli inseriti nel ciclo attuale dal Lemma 5.1.

Un periodo comune è il prodotto dei moduli, in numero finito, in $\mathcal H$ e $\mathcal P$, con prodotto vuoto uguale a $1$. Per ogni modulo $m$ che divide quel periodo, ciascuna classe modulo $m$ ha lo stesso numero di preimmagini. Dunque riportare un insieme vietato al periodo comune ne preserva la densità. La maggiorazione finita per un’unione dà

$$\begin{split} \mathrm d(E)&\geq1-\sum_{H\in\mathcal H}\frac1H -\sum_{p\in\mathcal P}\frac{|\mathcal B(p,D)|}{p}\\ &>\frac{99}{100}-\frac{3s}{D} \geq\frac{37}{50}>\frac23. \end{split} \tag{5.5}$$

Non è richiesta indipendenza né coprimalità fra questi moduli. L’unico vincolo sui primi privati copre sia i punti dei cicli precedenti sia tutte le esclusioni dovute ai primi privati; non viene contato due volte.

La Figura 3 rappresenta la stima inferiore sufficiente in (5.5). È una stima ricavata dalla dimostrazione, non una densità calcolata per un esempio costruito.

Stima garantita Soglia di selezione

Al limite di confronto, il margine sopra la soglia è $11/150$.

Figura 3 — Il margine di densità di un ciclo finito sulla griglia fissata $D\mathbb N$. La retta della stima garantita è

$$B(s/D)=\frac{99}{100}-\frac{3s}{D}.$$

Il vincolo comprende l’unico margine $1/100$ per i primi privati e al più $3s/D$ per le radici degli $s$ blocchi già inseriti nel ciclo. Il diagramma ha sull’asse orizzontale i valori $0$, $1/48$, $1/24$, $1/16$, $1/12$ di $s/D$; l’asse verticale della densità parte da $3/5$ e indica $2/3$, $37/50$, $4/5$, $9/10$ e $99/100$.

Negli inserimenti effettivi vale $s<J=\lfloor D/12\rfloor$, dunque $s/D<1/12$. L’estremo aperto in $1/12$ è un estremo di confronto: lì $B=37/50$, ancora $11/150$ sopra la soglia di selezione $2/3$. L’area fra la retta e la soglia rappresenta questo margine garantito, non una densità empirica.

6. Il blocco successivo

Mostriamo ora che ogni inserimento richiesto da un ciclo può essere effettuato. Oltre all’ammissibilità, in tutta questa sezione assumiamo che la griglia attuale $D$ sia coprima con tutti i primi privati già presenti. All’inizio del ciclo ciò segue da (4.1); i nuovi primi privati nel ciclo saranno scelti maggiori di $D$.

Scegliere il primo prima delle etichette

Sia $i$ l’indice del blocco successivo e sia $\delta=1/100-\sum_{j<i}H_j^{-1}>0$. Scegliamo un primo $H_i$ maggiore di

$$2,\quad D,\quad\delta^{-1},\quad \text{tutti i precedenti }H_j,\quad \text{tutti i precedenti interi }N_{j,n}. \tag{6.1}$$

L’illimitatezza dei primi permette di soddisfare queste condizioni, in numero finito. Poiché $H_i^{-1}<\delta$, l’insieme ampliato dei primi privati soddisfa ancora (3.3). Poniamo $\mathcal H=\{H_1,\ldots,H_i\}$, facciamo sì che $\mathcal P$ contenga le radici degli $s<J$ blocchi già inseriti in questo ciclo, e definiamo

$$E=E(\mathcal H,\mathcal P,D). \tag{6.2}$$

L’intero filtro periodico e un periodo comune sono ora fissati. Per (5.5),

$$\mathrm d(E)>\frac{37}{50}>\frac23. \tag{6.3}$$

Inoltre, $E\subset\mathcal R(F,D)$ e ogni etichetta in $E$ evita tutti i primi privati attuali, compreso $H_i$.

Applichiamo il Teorema 2.1 a questo $E$ fissato, con una soglia intera abbastanza grande da ottenere un insieme primitivo finito $P_i\subset E$ con

$$\begin{gathered} W(P_i)>\frac16,\qquad \min P_i\geq2D,\\ D\min P_i>4H_i,\qquad D\min P_i>M(F)+1. \end{gathered} \tag{6.4}$$

Una tale soglia esiste perché $F,D,H_i$ sono già fissati. L’insieme $P_i$ è non vuoto, e poniamo $U=D\max P_i$.

Scegliere la perturbazione dopo le etichette

Per ogni $a\in F$, conserviamo la rappresentazione ridotta $a=A_a/B_a$, con denominatore intero positivo $B_a$. Scegliamo un primo $G_i$, distinto da tutti gli $H_1,\ldots,H_i$, sufficientemente grande affinché, con $p=H_iG_i$, $q=p-1$ e $c=p/q$,

$$\begin{gathered} p\geq2D,\qquad1<c<2,\qquad q\geq2U^{13},\\ \frac Uq<\frac1{B_a}\qquad(a\in F). \end{gathered} \tag{6.5}$$

L’ultima famiglia di condizioni è vuota quando $F=\varnothing$. Tutte queste condizioni sono un numero finito di vincoli inferiori su $G_i$, insieme a un numero finito di esclusioni di primi, e possono quindi essere soddisfatte simultaneamente.

Poniamo $D_i=D$ e definiamo $A_i$ mediante (3.1). Per $n\in P_i$, scriviamo $m=Dn$. Allora

$$a_{i,n}=cm=m+\eta_m,\qquad \eta_m=\frac mq>0, \tag{6.6}$$

e, poiché $m\leq U$,

$$\eta_m\leq\frac{m}{2U^{13}}\leq\frac12m^{-12}. \tag{6.7}$$

La scelta di $G_i$ non cambia nessuno fra $F,D,H_i,P_i$.

Proposizione 6.1 (Estensione finita). La configurazione ampliata ottenuta aggiungendo $A_i$ è ammissibile. Soddisfa ancora $(D,H_j)=1$ per ogni primo privato attualmente presente, e il nuovo blocco soddisfa

$$W(A_i)>\frac1{24D}. \tag{6.8}$$

Dimostrazione. Verifichiamo prima ogni tipo di coppia ordinata nella condizione di insieme originale.

Una vecchia sorgente e un nuovo bersaglio. Fissiamo $a=A_a/B_a\in F$, $n\in P_i$ e $k\in\mathbb Z$, e poniamo $m=Dn$. Poiché $n\in\mathcal R(F,D)$, il numero $ka-m$ è fuori da $(-1,1]$. Appartiene a $B_a^{-1}\mathbb Z$, dunque vale una delle due alternative

$$ka-m\leq-1\qquad\text{oppure}\qquad ka-m\geq1+\frac1{B_a}.$$

Nel primo caso $ka-a_{i,n}=ka-m-\eta_m<-1$. Nel secondo, (6.5) dà

$$ka-a_{i,n}\geq1+\frac1{B_a}-\eta_m>1.$$

Dunque $|ka-a_{i,n}|>1$ per ogni $k\in\mathbb Z$, in particolare per ogni $k$ positivo. Il denominatore $B_a$ è fissato per questa sorgente e l’argomento non impone alcun limite superiore a $k$.

Una nuova sorgente e un vecchio bersaglio. Per (6.4) e $c>1$, ogni nuovo punto $a_{i,n}$ supera $M(F)+1$. Per $a\in F$ e $k\in\mathbb N$,

$$ka_{i,n}-a\geq a_{i,n}-a>1.$$

Due punti distinti nel nuovo blocco. Per $n,n'\in P_i$ distinti e $k\in\mathbb N$, la primitività implica $kn\ne n'$. Pertanto

$$|ka_{i,n}-a_{i,n'}|=cD|kn-n'|\geq cD>D>1.$$

Le vecchie coppie soddisfano già (I1). Le disuguaglianze precedenti danno anche l’ordinamento richiesto del nuovo blocco, dunque (I1) vale.

Per (I2), consideriamo prima un intero precedente $N_{j,n}$. I vecchi primi privati non lo dividono per induzione, e il nuovo primo non lo divide perché $H_i>N_{j,n}$. Consideriamo poi un nuovo intero $N_{i,n}=G_iDn$. Per ogni primo privato $H_j$ con $j\leq i$:

• $H_j\nmid D$, per l’ipotesi del ciclo quando $j<i$ e per $H_i>D$ quando $j=i$;
• $H_j\nmid n$, perché $P_i\subset E$;
• $H_j\nmid G_i$, perché $G_i$ è un primo distinto da $H_j$.

Poiché $H_j$ è primo, non divide $G_iDn$. Questo dimostra (3.2) per ogni coppia di indici ora presente. I requisiti di grandezza e distinzione dei primi privati seguono da (6.1), e il vincolo sulla somma dei reciproci è stato preservato quando è stato selezionato $H_i$. Non viene usata alcuna affermazione su un primo non ancora scelto.

Per (I3), le condizioni (6.4) e (6.7) danno

$$\frac{a_{i,n}}{H_i}=\frac{cDn}{H_i}>4, \qquad0<a_{i,n}-Dn\leq\frac12(Dn)^{-12}.$$

Infine, $n\geq2D$ e $c<2$ implicano $cD\leq n$ e quindi $\log(cDn)\leq2\log n$. Di conseguenza,

$$\mathrm w(cDn)=\frac1{cDn\log(cDn)} \geq\frac{\mathrm w(n)}{4D}. \tag{6.9}$$

La mappa $n\mapsto cDn$ è iniettiva. Sommando (6.9) e usando $W(P_i)>1/6$ si ottiene (6.8). $\square$

7. I cicli e l’unione infinita

Proposizione 7.1 (Un ciclo). Ogni configurazione finita ammissibile può essere estesa, senza cambiare nessuno dei suoi punti o dati, a una configurazione finita ammissibile il cui insieme di punti ha guadagnato peso almeno $1/576$.

Dimostrazione. Partiamo dal suo insieme di punti $F_0$ e scegliamo $D$ mediante il Lemma 4.1. Manteniamo questo $D$ fissato, e prescriviamo $J=\lfloor D/12\rfloor$ nuovi blocchi. Dopo $s<J$ inserimenti, la disuguaglianza (5.5) è valida. Le sezioni 6 e 5 permettono dunque l’inserimento successivo: la nuova configurazione è ammissibile, il suo $p_i$ soddisfa $p_i\geq2D$, e $D$ rimane coprimo con ogni primo privato. L’induzione finita effettua tutti i $J$ inserimenti.

I blocchi sono disgiunti a due a due per il loro ordinamento in (I1). Il loro peso totale aggiunto è pertanto, per (6.8), almeno $J/(24D)$. Poiché $D\geq48$, abbiamo

$$J=\left\lfloor\frac D{12}\right\rfloor \geq\frac D{12}-1\geq\frac D{24}.$$

Il guadagno è dunque almeno $1/576$. Il numero di inserimenti è finito, anche se non viene imposto alcun limite alla grandezza di $D$. Alla fine del ciclo, (I2) permette al Lemma 4.1 di scegliere una nuova griglia usando ogni intero $N_{i,n}$ ora presente. Questa nuova griglia viene usata soltanto per i blocchi futuri; nessun vecchio valore $D_i$ viene cambiato. $\square$

Dimostrazione del Teorema 1.2. Iniziamo dalla configurazione ammissibile vuota e applichiamo ripetutamente la Proposizione 7.1. Sia $F_R$ l’insieme dei punti alla fine del ciclo $R$, e poniamo $F_0=\varnothing$. Ogni ciclo estende la stessa configurazione precedente. Dunque

$$F_0\subset F_1\subset F_2\subset\cdots, \qquad W(F_R)\geq\frac R{576}\quad(R\geq1).$$

Poniamo $A=\bigcup_{R\geq1}F_R$. Ogni punto è razionale per (3.1), e ogni punto supera $2$, poiché $D_i\geq48$ e $n\geq2D_i$ al suo inserimento.

Dati $a,b\in A$ distinti, scegliamo un ciclo $R$ con $a,b\in F_R$. La proprietà di insieme originale di $F_R$ dà $|ka-b|\geq1$ per ogni $k\in\mathbb N$. Questo dimostra (1.1) sull’unione, con la stessa coppia che controlla simultaneamente tutti i moltiplicatori.

Ogni blocco è finito e non vuoto, e il suo elemento minimo supera il massimo dell’intero prefisso precedente di più di $1$. Esistono infiniti blocchi. I loro elementi minimi tendono a infinito, dunque ogni intervallo limitato incontra soltanto un numero finito di blocchi e contiene soltanto un numero finito di punti di $A$. Pertanto $A$ è numerabile infinito e non ha punti di accumulazione finiti. La relazione (1.4) vale per ogni punto per (I3), e rimane vera perché nessun punto viene mai cambiato.

Infine, la monotonia delle somme a termini non negativi dà

$$W(A)\geq W(F_R)\geq\frac R{576}\qquad\text{per ogni }R\geq1.$$

Pertanto $W(A)=\infty$. Equivalentemente, la convergenza monotona per questa esaustione crescente dà $W(A)=\lim_{R\to\infty}W(F_R)=\infty$. $\square$

8. Ordine delle scelte e verifica formale

Ordine dei quantificatori

L’ordine di dipendenza per un nuovo blocco è

$$\text{configurazione precedente} \longrightarrow D\longrightarrow H_i\longrightarrow E \longrightarrow P_i\longrightarrow G_i\longrightarrow A_i.$$

La griglia $D$ viene scelta una volta per ciclo, e viene mantenuta fissa per quel ciclo. Per ogni uso del Teorema 2.1, l’intero insieme periodico $E$, comprese tutte le esclusioni di primi, è fissato prima di scegliere il livello $\Omega(n)=r$. Il suo troncamento $P_i$ è poi fissato prima di scegliere il denominatore della perturbazione $H_iG_i-1$. Dunque non fanno parte dell’argomento né un’affermazione di uniformità rispetto al modulo né un’esclusione di primi imposta retroattivamente a $P_i$.

Anche l’induzione sui primi privati ha due direzioni distinte. All’inserimento, un nuovo $H_i$ supera ogni vecchio intero $N_{j,n}$; questo protegge tutti i vecchi punti dal nuovo primo. Le nuove etichette e $G_i$ evitano tutti i primi privati già presenti; questo protegge i nuovi punti da tutti quei primi. Ripetere la stessa verifica finita a ogni stadio successivo stabilisce l’invariante per ogni prefisso finito.

Determinazione delle scelte

La costruzione formale usa la scelta classica sul teorema dimostrato di estensione di un ciclo finito, seguita dalla ricorsione sui numeri naturali. Viene effettuato soltanto un numero numerabile di scelte finite successive. Se si desidera una procedura di selezione specificata, si prenda il più piccolo primo che soddisfa ogni elenco finito di vincoli e la più piccola potenza di due nella scelta della griglia.

Per $P_i$, fissiamo un periodo di $E$ e una soglia intera $N$ che soddisfi (6.4). Enumeriamo le terne formate da un livello $r$ con $2^r\geq N$, una soglia di troncamento $X$ e una precisione per una stima inferiore razionale della somma finita

$$\sum_{\substack{n\leq X\\n\in E\\\Omega(n)=r}}\frac1{n\log n}.$$

Accettiamo la prima stima inferiore certificata che supera $1/6$. L’appartenenza a $E$ è decidibile dal suo periodo finito; per punti sorgente razionali, la condizione in (4.4) può anche essere controllata decidendo se un intervallo razionale limitato contiene un intero. Approssimazioni razionali di queste somme finite di logaritmi sono effettivamente ottenibili. Il Teorema 2.1 garantisce la terminazione di questa ricerca. Non si afferma alcun limite uniforme al suo tempo di esecuzione, ai livelli, ai troncamenti o ai periodi. Questa enumerazione facoltativa descrive una procedura matematica di selezione; non è un programma eseguibile estratto dalla costruzione Lean.

Ambito della verifica e riproducibilità

Il teorema completo di esistenza è formalizzato in Lean 4.24.0. Tutti i nomi che seguono appartengono allo spazio dei nomi Erdos143. I due teoremi razionali chiusi sono:

Teorema dimostrato	Enunciato
mainConclusion_proved	MainConclusion
strongConclusion_proved	StrongConclusion

Il primo fornisce un insieme razionale numerabile in $[2,\infty)$, la separazione per ogni coppia ordinata di elementi distinti e ogni moltiplicatore naturale positivo, e un peso totale non negativo infinito. Il secondo aggiunge la finitezza locale e (1.4). Le loro definizioni sono in Erdos143/Definitions.lean e le loro dimostrazioni in Erdos143/Main.lean. Nessuno dei due teoremi assume un principio di selezione, un’estensione finita, una successione di prefissi o qualsiasi altra ipotesi analitica o costruttiva non dimostrata.

L’ulteriore teorema realConclusion_proved, in Erdos143/RealConclusion.lean, enuncia esplicitamente la conclusione nel dominio reale. Fornisce $A\subset\mathbb R\cap[2,\infty)$, la numerabilità, la razionalità di ogni punto, tutte le disuguaglianze ordinate sui moltiplicatori, ed entrambe le affermazioni

$$\sum_{a\in A}^{[0,\infty]}\frac1{a\log a}=\infty, \qquad \left(a\mapsto\frac1{a\log a}\right)\text{ non è sommabile su }A. \tag{8.1}$$

La prima somma è codificata nei reali non negativi estesi di Lean, ENNReal, con valore $\top$; la seconda è una negazione esplicita di Summable per termini a valori reali. Il trasferimento da $\mathbb Q$ a $\mathbb R$ usa l’inclusione razionale iniettiva e un’equivalenza dei due sottotipi di indicizzazione. La non negatività di tutti i pesi collega le due affermazioni. La divergenza non viene quindi rappresentata mediante il valore convenzionale di una tsum reale non sommabile. Segue anche la numerabilità infinita, poiché ogni insieme finito in questo contesto ha peso finito.

Il punto di raccordo analitico è esattamente il Teorema 2.1, dimostrato da periodicPrimitiveSelection_proved. Le stime di Abel principale, per tutte le classi di resto e periodica sono, rispettivamente:

Stima nel manoscritto	Nome nella formalizzazione
(2.15)	principal_abel_lower_bound
(2.2)	all_residues_abel_lower_bound
(2.19)	periodic_abel_lower_bound

La costruzione formale usa il vincolo finito stretto sui primi (3.3), il filtro chiuso delle radici (5.1), una griglia di riavvio ottenuta mediante prodotto e il guadagno non stretto per ciclo della Proposizione 7.1, come presentati qui. Le sue principali dichiarazioni costruttive sono:

Passaggio	Nome nella formalizzazione
Etichette finite	round_labels
Inserimento completo	insert_block_exists
Invarianti simultanei	block_extension_valid
Ciclo completo	round_extension_exists
Stati finiti ricorsivi	stateSequence
Stima inferiore del peso dei prefissi	stateSequence_mass_lower
Peso totale infinito	constructedSet_weight_diverges

Gli stati formali conservano insiemi finiti di terne $(H,N,q)$ e un insieme finito di primi privati; il testo raggruppa queste terne nei rispettivi blocchi. Le note sorgente Abel-periodic-proof.md e Construction-correspondence.md documentano la corrispondenza dei teoremi e questi dettagli di rappresentazione. Non è necessaria, né viene affermata, alcuna asserzione di limite inferiore per ogni singolo livello di $\Omega$.

Il progetto congelato fissa mathlib alla revisione

con le revisioni delle dipendenze transitive fissate in lake-manifest.json. Su Linux x86_64, la riproduzione dall’archivio sorgente fornito avviene con:

Il primo script recupera la versione ufficiale fissata di Lean e le dipendenze mathlib; richiede accesso alla rete e gli strumenti elencati nel README.md del progetto. La verifica compila trattando gli avvisi come errori, controlla i sorgenti alla ricerca di segnaposto delle dimostrazioni, esamina tutte le dichiarazioni dimostrate e stampa gli enunciati esistenziali espansi. Due esecuzioni locali di verifica hanno avuto successo, inclusa una ricompilazione da zero del progetto a partire dai sorgenti congelati. Le impronte dei sorgenti coincidevano prima e dopo la seconda esecuzione. Questi erano controlli computazionali locali, non revisioni esterne da parte di esperti.

Tutte le 245 dichiarazioni dimostrate hanno superato il controllo degli assiomi. In particolare, i tre teoremi conclusivi chiusi dipendono soltanto da propext, Classical.choice e Quot.sound: estensionalità proposizionale, scelta classica e correttezza dei quozienti. Non vi sono assiomi analitici o aritmetici aggiuntivi, né segnaposto delle dimostrazioni.

Il registro di verifica ed entrambe le raccolte di resoconti locali sono inclusi nell’archivio sorgente congelato

La sua impronta SHA-256, divisa nel manoscritto in due righe soltanto per ragioni tipografiche, è

L’archivio LaTeX dell’articolo è un artefatto tipografico separato; compilarlo non esegue la formalizzazione. Il controllo del nucleo di Lean stabilisce gli enunciati formali a partire dai fondamenti documentati. Una revisione indipendente da parte di esperti della formulazione matematica, della corrispondenza alla domanda di Erdős e dell’esposizione non è ancora stata completata. Non si rivendicano una priorità, un’accettazione esterna o una pubblicazione scientifica sottoposta a revisione.

Il manoscritto e il codice completo

Il PDF del manoscritto conserva la versione inglese del 2 ottobre. L’archivio della dimostrazione Lean contiene l’intero progetto, gli strumenti di verifica e i resoconti dei due controlli locali. Sono disponibili anche il file Lean con l’enunciato sui reali e il sorgente LaTeX del manoscritto.

La repository erdos-143-candidate-disproof raccoglie la dimostrazione e la corrispondenza fra i suoi passaggi e il codice. Il riferimento al deposito su arXiv sarà aggiunto quando sarà disponibile l’identificativo.

Riferimenti

• T. F. Bloom, Erdős problem #143, Erdős Problems, pagina del problema, consultata il 2 ottobre 2026.
• P. Erdős, On the density of some sequences of integers, Bulletin of the American Mathematical Society 54 (1948), 685–692, in particolare il problema II, p. 692. DOI: 10.1090/S0002-9904-1948-09057-7; copia nell’archivio dell’autore.
• D. Koukoulopoulos, Y. Lamzouri e J. D. Lichtman, Erdős’s integer dilation approximation problem and GCD graphs, preprint, 13 febbraio 2025, Teorema 1. Manoscritto ospitato dall’autore.
• T. Tao, 254A, Notes 1: Elementary multiplicative number theory, What’s New, 23 novembre 2014. Note delle lezioni.